In many situations, we want to verify the existence of a relationship between multivariate time series. Here, we propose a semi-parametric approach for testing the independence between two infinite order vector autoregressive (VAR(INF)) series which is an extension of Hong's (1996) univariate results. We first filter each series by a finite autoregression and the test statistic is a standardized version of the sum of weighted squared residual cross-correlation at all possible lags. The weights depend on a kernel function and on a truncation parameter. Using a result of Lewis and reinsel (1985), the asymptotic distribution of the statistic test is derived under the null hypothesis and its consistency is also established for a fixed alternative of unknown form. Apart of standardization factors, the multivariate portmanteau statistic proposed by Bouhaddioui and Roy (2002) that takes into account a fixed number of lags can be viewed as a special case by using the truncated uniform kernel. However, many kernels lead to a greater power, as shown in a local and global asymptotic power analysis and by a small simulation study in finite samples. A numerical example with real data is also presented.

Nous voulons étudier dans cet article la famille de puissances d'exponentielle généralisée (GEP). Cette famille comprend la grande majorité des densités usuelles et quelques autres à une transformation près. La riche diversité du comportement des queues de la densité GEP en fait une densité de référence naturelle pour caractériser et ordonner les queues d'une grande classe de densités. Des méthodes analytiques et numériques sont proposées afin d'évaluer sa constante de normalisation, ses moments et sa fonction de répartition. De plus, deux méthodes sont proposées pour simuler des observations provenant de la densité GEP. Quelques exemples de simulations sont présentées. Une méthode numérique basée sur la densité GEP est aussi présentée pour l'estimation des moments a posteriori lorsque la loi a priori et la vraisemblance sont des densités symétriques définies sur les réels. Des exemples du comportement de la densité a posteriori lorsqu'on est en présence d'une valeur aberrante est présentée. On peut voir que l'utilisation de distributions à queues épaisses est un outil précieux pour développer des procédures bayésiennes robustes, limitant l'influence qu'une source d'information extrême peut avoir sur l'inférence a posteriori.

La famille des densités GEP (Generalized Exponental Power) proposée par Angers (2000, Metron, Vol. 58, pp. 81-108) permet de caractériser les ailes d'un très vaste ensemble de densités symétriques définies sur les réels. Comme la densité normale fait partie de la famille des densités GEP, il est naturel de développer un test de normalité à partir de cette famille de lois. Plus précisément, nous utilisons le test du score de Rao afin de construire un test de normalité applicable lorsqu'il est raisonnable de supposer la symétrie de la densité d'intérêt. Le test ainsi obtenu permet de confronter l'hypothèse composée de normalité (c.-à-d. avec moyenne et variance inconnues) à une large classe d'alternatives symétriques. La puissance de ce test est étudiée à l'aide de simulations.